Il caldo di giugno nell’officina della “PlastikCorp ” si poteva tagliare col coltello. Marco, diciannove anni e la freschezza di chi crede ancora che i manuali d’istruzione siano solo consigli opzionali, stava fissando un cavetto di rame flessibile con l’aria di chi davanti a sé ha l’enigma della Sfinge.
A pochi metri da lui Franco, il capo manutentore, stava ripulendo i suoi occhiali dalla montatura nera e spessa. Renzo era un uomo la cui testa rifletteva la luce della lampada al neon con precisione geometrica: completamente calvo, ma con un cervello che funzionava ancora a millisecondi.
«Marco, se continui a fissare quel filo, finisce che si salda da solo per lo sguardo caloroso che gli stai dando», grugnì Renzo, inforcando di nuovo gli occhiali.
«No, Franco, è che non mi quadra», rispose il giovane, grattandosi la testa. «Stiamo riparando questo alimentatore ad alta corrente. Questo cavo qui è corto, sarà dieci centimetri, ed è pure sottile. Ma ci passano un sacco di Ampere! Com’è possibile che non prenda fuoco? Cioè, se è piccolo non dovrebbe fare un sacco di resistenza?»
Franco, sospirò, un suono che sembrava lo sfiato di un compressore pneumatico. Si frugò nella tasca della tuta blu, tirò fuori una penna biro masticata e un pezzo di cartone strappato da una scatola di imballaggio.
«Vieni qui, “Einstein della domenica”. Mettiti comodo che oggi smontiamo i tuoi dubbi prima che tu mi dia fuoco al capannone.»
Il teorema del cartone e della biro
Franco, appoggiò il cartone sul banco da lavoro e, con la grafia precisa di chi ha fatto il perito industriale quando i computer erano ancora fantascienza, scrisse una formula a caratteri cubitali:
$$R = \rho \frac{l}{S}$$
«Questa, mio caro e ancora acerbo collega, è la Seconda Legge di Ohm», esordì Franco,, picchiettando la penna sul cartone. «La legge che governa la pigrizia degli elettroni dentro un pezzo di metallo. La $R$ sta per Resistenza elettrica e si misura in Ohm ($\Omega$). È l’ostacolo che il materiale oppone al passaggio della corrente.»
«Ok, fin qui ci sono», disse Marco, cercando di darsi un tono. «Ma guarda la formula! Se la sezione $S$ è piccola, la resistenza non dovrebbe salire? È al denominatore!»
«Bravo, la matematica non è ancora un’opinione», ironizzò Franco, guardandolo sopra la montatura nera degli occhiali. «Se stringi il tubo, l’acqua fa fatica a passare. La sezione $S$, espressa in metri quadri (o più comodamente in metri quadri millimetrici $mm^2$ nei nostri cavi), è inversamente proporzionale alla resistenza. Più il cavo è stretto, più la resistenza aumenta. E la lunghezza $l$, espressa in metri, è direttamente proporzionale: più la strada è lunga, più gli elettroni si stancano di urtare contro gli atomi del reticolo cristallino.»
«E allora ho ragione io!» trionfò Marco. «Se il cavo è sottile, ha una sezione $S$ piccola, quindi la resistenza è alta! Perché non fonde con tutta quella corrente?»
Il segreto è nella “Lettera Greca” (e nella brevità)
Franco, scosse la testa calva, che per un attimo sembrò brillare di luce propria. «Ti sei perso due pezzi del puzzle, volpe. Guarda bene il cavo che hai in mano. Quanto è lungo?»
«Eh… l’ho detto, dieci centimetri. Un decimo di metro.»
«Appunto! La lunghezza $l$ è piccolissima! Se $l$ è molto piccola, spinge il valore di $R$ verso il basso. Ma il vero asso nella manica è quella specie di “p” che ho disegnato lì davanti. Sai cos’è?»
«Una… p venuta male?»
«È una $\rho$ (rho), ignorante d’un ragazzo! Rappresenta la resistività del materiale. È una caratteristica intrinseca del metallo. Ogni materiale ha la sua, ed è legata a quanto i suoi atomi sono disposti a lasciare liberi gli elettroni di farsi un giro.»
Franco, prese di nuovo la penna e scarabocchiò una tabella sul cartone:
| Materiale | Resistività (ρ) a 20°C in Ω⋅m |
| Rame | $1.72 \times 10^{-8}$ |
| Argento | $1.59 \times 10^{-8}$ |
| Ferro | $10.0 \times 10^{-8}$ |
«Vedi questo numero assurdo per il rame? Ha un esponente negativo gigante. Significa che la sua resistività è microscopica. Il rame è un autostrada a sei corsie senza caselli per gli elettroni.»
I conti della serva (sul cartone)
«Facciamo due calcoli veloci, così smetti di guardarmi come se stessi parlando in aramaico», disse Franco,, calcolando a mente con la velocità di un supercomputer degli anni ’80.
«Mettiamo che quel pezzetto di cavo sia lungo $l = 0.1\text{ metri}$ e abbia una sezione di $S = 1\text{ mm}^2$, che tradotto in metri quadri è $1 \times 10^{-6}\text{ m}^2$. Se applichiamo la legge di Ohm senior:
$$R = (1.72 \times 10^{-8}) \cdot \frac{0.1}{1 \times 10^{-6}}$$
$$R = 1.72 \times 10^{-8} \cdot 10^5 = 0.00172\ \Omega$$
«Hai visto il risultato? La resistenza totale di quel pezzetto di filo è di appena 1.72 milliohm. È praticamente zero! Ecco perché, anche se la sezione è piccola, la lunghezza ridotta al minimo e l’ottima resistività del rame tengono la resistenza totale talmente bassa che gli Ampere ci passano dentro come il burro caldo sul pane.»
La morale della favola
Marco rimase a fissare il pezzo di cartone. I numeri erano lì, non si poteva scappare. La fisica aveva appena preso le sue intuizioni “a occhio” e le aveva polverizzate.
«Quindi…» azzardò Marco, «se anche la sezione è ridotta, finché il cavo è corto e il materiale è buono, la resistenza resta bassa e non generiamo un effetto Joule da barbecue?»
«Esatto», concluse Franco, passandosi una mano sulla testa liscia e riponendo la penna nel taschino. «La sezione piccola è uno svantaggio, ma la lunghezza corta compensa. È tutta una questione di equilibrio. Ora, rimonta quel connettore e vedi di stringere bene i morsetti, perché se lasci un contatto lento la sezione efficace si riduce, la resistenza locale si impenna, e l’effetto barbecue lo sperimentiamo sulla tua pelle. Chiaro?»
«Chiarissimo, Franco, Viva la $\rho$.»
«Pensa a lavorare, va’. Che la $\rho$ non ti paga lo stipendio a fine mese.»
